Question

如图，两条相交线段AB、PQ的四个端点都在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上，其中，直线AB的方程为x=m，直线PQ的方程为y=

1

2

x+n．
（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；
（Ⅱ）探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由∠BAP=∠BAQ，知k_AP+k_AQ=0．由此能求出m．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+n

，得4y²-6ny+3n²-3=0．利用韦达定理结合对称性进行分类讨论，得到存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ．

解答： （本题满分15分）
解：（Ⅰ）由

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x

，解得P(-

3

，-

3

2

)，Q(

3

，

3

2

)．…（2分）
∵∠BAP=∠BAQ，∴k_AP+k_AQ=0．
设A（m，y），则

y+ 3 2

m+ 3

+

y- 3 2

m- 3

=0，
化简得2my=3，…（5分）
又

m2

4

+

y2

3

=1，联立方程组，解得m=±1，或m=±

3

．
∵AB平分∠PAQ，∴m=±

3

不合，∴m=±1．…（7分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+n

，得4y²-6ny+3n²-3=0．
△=12（4-n²），y1+y2=

3n

2

，y1y2=

3(n2-1)

4

．…（9分）
若存常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ，
则由（Ⅰ）知只可能m=±1．
①当m=1时，取A(1，

3

2

)，∠BAP=∠BAQ等价于

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=0，
即（2y₁-3）（2y₂-2n-1）+（2y₂-3）（2y₁-2n-1）=0，
即4y₁y₂+3（2n+1）=2（n+2）（y₁+y₂），
即3（n²-1）+3（2n+1）=3n（n+2），此式恒成立．
∴存常数m=1，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ．…（13分）
②当m=-1时，取A(-1，-

3

2

)，
由对称性同理可知结论成立．
∴存常数m=±1，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ．…（15分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，综合性质强，难度大，具有一定的探究性，对数学思维的要求较高．