Question

已知（x

x

+

1

3 x

）ⁿ的展开式中，前三项的二项式系数之和为37．
（Ⅰ）求n的值；    
（Ⅱ）求x的整数次幂的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）由条件可得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=37，由此求得 n=8．
（Ⅱ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，可得r=0，6，从而求得x的整数次幂的项．

解答： 解：（Ⅰ）由前三项的二项式系数之和为37，可得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=37，∴n=8．
（Ⅱ）由于二项展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 8

•x12-

11

6

r，
令 12-

11r

6

 为整数，可得r=0，6
故x的整数次幂的项为 T₁=

C

0 8

•x¹²=x¹²，T₇=

C

6 8

•x=28x．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．