Question

已知函数f(x)=

ax

x2+b

在x=-1处取得极值-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数极值和导数之间的关系，建立方程组即可求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数的导数，即可求函数f（x）单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

ax

x2+b

，∴f′（x）=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，
∵在x=-1处取得极值-2．
∴f（-1）=-2，f′（-1）=0，
即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

，解得a=4，b=1，即f（x）=

4x

1+x2

．
（Ⅱ）f′（x）=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

=

-4(x-1)(x+1)

(1+x2)2

，
由f′（x）＞0，解得-1＜x＜1，此时函数单调递增，递增区间为（-1，1），
由f′（x）＜0，解得x＞1或x＜-1，此时函数单调递减，递减区间为（-∞，-1），（1，+∞），

点评：本题主要考查函数单调性以及单调区间的求解，根据函数的极值求出a，b是解决本题的关键．