题目内容
如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=| π |
| 3 |
（Ⅰ）求证：DE⊥NC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点p，使二面角P-EC-D的大小为
| π |
| 6 |
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）证明：DE⊥DC，ND⊥DE，可得DE⊥平面NDC，即可证明DE⊥NC；
（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面PEC的一个法向量、平面ECD的法向量．利用向量的夹角公式，建立方程，即可得出结论．
（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面PEC的一个法向量、平面ECD的法向量．利用向量的夹角公式，建立方程，即可得出结论．
解答：
（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60°，∴DE=
．
∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …①…（1分）
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND?平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，
∵DE?平面ABCD，∴ND⊥DE …②…（2分）
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC
∴DE⊥NC …（4分）
（Ⅱ）解：设存在P符合题意．
由（Ⅰ）知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz（如图），
则D（0，0，0），A（
，-1，0），E（
，0，0），C（0，2，0），P（
，-1，h）（0≤h≤1）．
∴
=（0，-1，h），
=（-
，2，0），设平面PEC的法向量为
=（x，y，z），
则
，令x=2，则平面PEC的一个法向量为
=（2h，
h，
） …（7分）
取平面ECD的法向量
=（0，0，1），…（9分）
∴cos
=
，解得h=
∈[0，1]，
即存在点P，使二面角P-EC-D的大小为
，此时AP=
． …（12分）
| 3 |
∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …①…（1分）
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND?平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，
∵DE?平面ABCD，∴ND⊥DE …②…（2分）
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC
∴DE⊥NC …（4分）
（Ⅱ）解：设存在P符合题意．
由（Ⅰ）知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz（如图），
则D（0，0，0），A（
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴
| EP |
| EC |
| 3 |
| n |
则
|
| n |
| 3 |
| 3 |
取平面ECD的法向量
| m |
∴cos
| π |
| 6 |
| ||
|
| ||
| 7 |
即存在点P，使二面角P-EC-D的大小为
| π |
| 6 |
| ||
| 7 |
点评：本题考查线面垂直，考查二面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（ ）
| A、0.89＜90.8＜log0.89 |
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