Question

已知函数f（x）=x²+ax+1（a＞0）．
（1）设g（x）=（2x+1）f（x），若y=g（x）与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；
（2）设h（x）=f（x）-x²-|1-

1

x

|（x∈（0，2]），是否同时存在实数m和M（M＞m），使得对每一个t∈（m，M），直线y=t与曲线y=h（x）恒有三个公共点？若存在，求出M-m的最大值I（a）；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，函数y=g（x）与x轴恰有两个不同的交点，即方程g（x）=0有两个不相等的实数根，求出a的取值集合；
（2）根据x∈（0，2]，去掉绝对值，求出h（x）的单调区间，画出函数图象，结合图象求出符合条件a的取值范围，从而求出M-m的最大值I（a）．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²+ax+1（a＞0），g（x）=（2x+1）f（x），
∴g（x）=（2x+1）（x²+ax+1），
当y=g（x）与x轴恰有两个不同的交点时，
方程x²+ax+1=0有两个相等的实数根，
∴△=a²-4=0，
解得a=2或a=-2（不合题意，舍去），
∴a的取值集合是{2}；
（2）∵h（x）=f（x）-x²-|1-

1

x

|（x∈（0，2]），
∴当0＜x≤1时，1≤

1

x

，
h（x）=（x²+ax+1）-x²-

1

x

+1=ax-

1

x

+2；
当1＜x≤2时，1＞

1

x

，
h（x）=（x²+ax+1）-x²-1+

1

x

=ax+

1

x

；
∴h（x）=

ax- 1 x +2，0＜x≤1 ax+ 1 x ，1＜x≤2

；
又∵0＜x≤1时，h（x）=ax-

1

x

+2是单调增函数，h（x）≤a+1；
1＜x≤2时，h（x）=ax+

1

x

，
h′（x）=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

，
令h′（x）=0，得x=

1

a

，
∴当1≤

1

a

≤2，即

1

4

≤a≤1时，在x=

1

a

时，h（x）取得最小值2

a

，
且h（x）在（1，

1

a

）上是减函数，在（

1

a

，2]上是增函数，如图所示；
；
若存在实数m和M（M＞m），使得对每一个t∈（m，M），直线y=t与曲线y=h（x）恒有三个公共点，
则a+1＞2

a

，∴(

a

-1)2＞0，即a≠1，
∴

1

4

≤a＜1①；
又h（2）≥h（1），即2a+

1

2

≥a+1，∴a≥

1

2

②；
由①②得，

1

2

≤a＜1；
综上，M-m的最大值I（a）=（a+1）-2

a

=(

a

-1)2=(

1 2

-1)2=

3

2

-

2

．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了分段函数的应用问题以及导数的应用问题，考查了数形结合的应用问题，是综合性题目．