Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，二次函数f（x）=

1

2

a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x的对称轴为x=

1

2

．
（1）试证明{2ⁿa_n}是等差数列，并求{a_n}通项公式；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，试求使得S_n＜3成立的n值，并说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式,二次函数的性质,等差数列的前n项和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据对称轴，得到2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=2，继而得到{2ⁿa_n}是以2为首项，以2公差的等差数列，根据等差数列的通项公式求出a_n，
（2）利用错位相加法求出数列的前n项和为S_n，并利用函数的思想，得到S_n＜3成立的n值．

解答： 证明：（1）∵二次函数f（x）=

1

2

a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x的对称轴为x=

1

2

．
∴

an+1- 1 2n

an

=

1

2

，
∴2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=2，
∵a₁=1，
∴2a₁=2，
∴{2ⁿa_n}是以2为首项，以2公差的等差数列，
∴2ⁿa_n=2+2（n-1）=2n，
∴a_n=

2n

2n

=n•(

1

2

)n-1．

（2）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n=1×

1

21-1

+2×

1

21

+3×

1

22

+…+n•(

1

2

)n-1，
∴

1

2

S_n=1×

1

21

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n•

1

2n

，
两式相减得，

1

2

S_n=

1

20

+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-n•

1

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-n•

1

2n

=2-

1

2

•

1

2n

-n•

1

2n

，
∴S_n=4-

n+2

2n-1

，
∵S_n＜3，
∴4-

n+2

2n-1

＜3
∴n+2＞2^n-1，
分别画出函数y=x+2（x＞0），与y=2^x-1（x＞0）的图象，如图所示
由图象可知，当n=1，2，3时，S_n＜3成立．

点评：本题考查二次函数的性质，以及等差关系的确定，错位相减法求数列的和，培养可学生的转化思想与综合运算、推理证明能力，属于中档题．