Question

定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（

x

3

）=

1

2

f（x），且当0≤x₁＜x₂≤1时．f（x₁）≤f（x₂），求f（

1

2013

）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件，可求出f（0）=1，f（1）=1，再因为当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），可找到f（

1

2013

）的范围为f（

1

1458

）＜f（

1

2013

）＜f（

1

2187

），求出f（

1

1458

），f（

1

2187

）的值，为同一个值，所以f（

1

2013

）的值也等于这个值．

解答： 解：∵f（x）+f（1-x）=1，
令x=0，可得f（0）+f（1）=1，又f（0）=0，
∴f（1）=1，
再令x=

1

2

，
可得f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，
∴f（

1

2

）=1，
∵f（

x

3

）=

1

2

f（x），
∴f（

1

3

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
∵

1

1458

＞

1

2013

＞

1

2187

且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），
∴f（

1

1458

）＜f（

1

2013

）＜f（

1

2187

），
∵f（

1

1458

）=

1

2

f（

1

486

）=

1

22

f（

1

162

）=…=

1

26

f（

1

2

）=

1

27

，
f（

1

2187

）=f（

1

37

）=

1

2

f（

1

36

）=

1

22

f（

1

35

）=…=

1

27

f（1）=

1

27

∴f（

1

2013

）=

1

27

=

1

128

点评：本这道题考查了抽象函数，运用了赋值法、迭代法、两边夹的性质求解，对学生的逻辑推理能力有很高的要求，有一定难度．