题目内容
已知函数f（x）=4cosxsin（x+
）-1．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（C）=1，若c=4，求△ABC面积的最大值．
| π |
| 6 |
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（C）=1，若c=4，求△ABC面积的最大值．
考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的图像与性质,解三角形
分析：（1）利用两角和公式对函数解析式化简整理，利用三角函数性质求得函数的单调增区间．
（2）利用f（C）=1求得C，进而利用余弦定理建立关于a和b的等式，利用基本不等式求得ab的最大值，进而利用三角函数面积公式求得面积的最大值．
（2）利用f（C）=1求得C，进而利用余弦定理建立关于a和b的等式，利用基本不等式求得ab的最大值，进而利用三角函数面积公式求得面积的最大值．
解答：
解：f（x）=4cosxsin（x+
）-1
=4cosx（
sinx+
cosx）-1
=2
sinxcosx+2cos2x-1
=
sin2x+cos2x
=2sin（2x+
）
（1）令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，即kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，函数单调增，
∴函数f（x）的递增区间是[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）．
（2）∵0＜C＜π，
∴
＜2C+
＜
，
∵f（C）=2sin（2C+
）=1，
∴sin（2C+
）=
，
∴2C+
=
，C=
∴cosC=
=
∴ab=a2+b2-c2≥2ab-c2，
又∵c=4
∴ab≤16，
∴S△ABC=
absin
=
ab≤4
，
故△ABC面积的最大值是4
．
| π |
| 6 |
=4cosx（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=2
| 3 |
=
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
（1）令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的递增区间是[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）∵0＜C＜π，
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 13π |
| 6 |
∵f（C）=2sin（2C+
| π |
| 6 |
∴sin（2C+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴2C+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
∴ab=a2+b2-c2≥2ab-c2，
又∵c=4
∴ab≤16，
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 4 |
| 3 |
故△ABC面积的最大值是4
| 3 |
点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．注重了对学生基础知识的考查．
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