Question

在边长为3的正方形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD相交于点F，则

FD

•

DE

的值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：综合题,平面向量及应用

分析：由题意，可建立以AB所在直线为X轴，以AD所在直线为Y轴建立平面直角坐标系，利用A，E，F三点共线与B，F，D三点共线得出关于点F的坐标的方程，解出点F的坐标，再求

FD

•

DE

的值．

解答： 解：由题设，可以AB所在直线为X轴，以AD所在直线为Y轴建立平面直角坐标系，
故有A（0，0），B（3，0），C（3，3），D（0，3），E（

3

2

，3），设F（x，y）．
则

AF

=（x，y），

AE

=（

3

2

，3），由于A，E，F三点共线，故

AF

∥

AE

，
所以3x-

3

2

y=0，即y=2x．①
同理，由B，F，D三点共线，可得y=-x+3．②
①②联立解得x=1，y=2，即F（1，2）．
所以

FD

=（-1，1），

DE

=（

3

2

，0）．
所以

FD

•

DE

=-

3

2

．
故答案为-

3

2

．

点评：本题考查了数量积的坐标运算，向量共线的条件，综合性较强，