Question

18．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为0.6，不赔不赚的可能性为0.2，亏损30%的可能性为0.2．假设该公司投资本地养鱼场的资金为x（x≥0）千万元，投资远洋捕捞队的资金为y（y≥0）千万元．
（1）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望Eξ．
（2）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．

Answer 1

分析 （1）随机变量ξ的可能取值为0.6y，0，-0.3y，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
（2）根据题意得，x，y满足的条件，由频率分布直方图求出本地养鱼场的年平均利润率为0.20x千万元，从而明年连个个项目的利润之和为z=0.2x+0.3y，作出x，y满足的可行域，由此能求出公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元．

解答 解：（1）随机变量ξ的可能取值为0.6y，0，-0.3y，
随机变量ξ的分布列为，

ξ	0.6y	0	-0.3y
P	0.6	0.2	0.2

∴Eξ=0.36y-0.06y=0.3y；
（2）根据题意得，x，y满足的条件为$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{x≥\frac{1}{2}y}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$①，
由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为：
-0.3×0.2×0.5+（-0.1）×0.2×0.5+0.1×0.2×1.0+0.3×0.2×2.0+0.5×0.2×1.0=0.20，
∴本地养鱼场的年利润为0.20x千万元，
∴明年连个个项目的利润之和为z=0.2x+0.3y，
作出不等式组①所表示的平面区域若下图所示，即可行域．
当直线z=0.2x+0.3y经过可行域上的点M时，截距$\frac{z}{0.3}$最大，即z最大．
解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{x=\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}}\right.$
∴z的最大值为：0.20×2+0.30×4=1.6千万元．
即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元．

点评 本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、数学期望、线性规划等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．