Question

7．双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，直线AB恰好经过它们的公共焦点F，则双曲线的离心率为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 用a，b，c表示出A，B两点坐标，代入抛物线方程得出a，b，c的关系，从而可得离心率．

解答 解：由F为公共焦点可知c=$\frac{p}{2}$，即p=2c，
∵抛物线与双曲线都关于x轴对称，
∴A，B两点关于x轴对称，
∴直线AB的方程为x=c，
代入双曲线方程得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，即A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$）．
∵A，B在抛物线上，
∴$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$=4c²，又b²=c²-a²，
∴c²-a²=2ac，即e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$或e=1-$\sqrt{2}$（舍）．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了双曲线与抛物线的性质，属于中档题．