题目内容
10．抛物线y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为N，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，若$\overrightarrow{NB}•\overrightarrow{AB}=0$，则|AF|-|BF|=（ ）| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 5 |
分析 设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，分别求得A和B点横坐标，根据抛物线的焦半径公式，即可求得则|AF|-|BF|．
解答 解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），假设直线AN的斜率k存在，设AB方程为：y=k（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0
设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），
∵$\overrightarrow{NB}•\overrightarrow{AB}=0$，则∠NBF=90°，
∴（x1-1）（x1+1）+y12=0，
∴x12+y12=1，∴x12+4x1-1=0（x1＞0），∴x1=-2+$\sqrt{5}$，
∵x1x2=1，∴x2=2+$\sqrt{5}$，
∴|AF|-|BF|=（x2+1）-（x1+1）=4，
故选C．
点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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| A． | [-$\frac{2}{3}$，0] | B． | （-∞，0）∪[$\frac{2}{3}$，+∞） | C． | [0，$\frac{2}{3}$] | D． | （-∞，-$\frac{2}{3}$]∪[0，+∞） |
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15．
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