Question

若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：绝对值三角不等式

专题：函数的性质及应用

分析：本题可分类讨论，将原函数转化为分段函数，现通过其最小值，求出参数a的值．

解答： 解：（1）当-

a

2

＞-1，即a＜2时，
f(x)=

-3x-1-a，(x≤-1) -x+1-a，(-1＜x＜- a 2 ) 3x+1+a，(x≥- a 2 )

，
∴f（x）在区间（-∞，-

a

2

）上单调递减，在区间[-

a

2

，+∞）上单调递增，
当x=-

a

2

时取最小值．
∵函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，
∴f(-

a

2

)=3．
∴a=-4．
（2）当-

a

2

＜-1，即a＞2时，
f(x)=

-3x-1-a，(x≤- a 2 ) x-1+a，(- a 2 ＜x＜-1) 3x+1+a，(x≥-1)

，
∴f（x）在区间（-∞，-

a

2

）上单调递减，在区间[-

a

2

，+∞）上单调递增，
当x=-

a

2

时取最小值．
∵函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，
∴f(-

a

2

)=3．
∴a=8．
（3）当-

a

2

=-1，即a=2时，
f（x）=3|x+1|≥0，与题意不符．
综上，a=-4或a=8．
故答案为：a=-4或a=8．

点评：本题考查了函数最值求法，考查了分段函数的解析式的求法，还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定的思维量，属于中档题．