Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A，B是C上两点，

AF1

=3

F1B

，∠BAF₂=90°，则椭圆C的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  4

• C、

  3

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：

分析：由已知条件设|

F1B

|=x，|

AF1

|=3x，在△ABF₂中，求得x=

a

3

，在Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，由勾股定理求出e2=

1

2

，由此能求出椭圆的离心率．

解答： 解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，
A，B是C上两点，

AF1

=3

F1B

，∠BAF₂=90°，
∴设|

F1B

|=x，则|

AF1

|=3x，
在△ABF₂中，（4x）²+（2a-3x）²=（2a-x）²，
整理，得x（3x-a）=0，即3x=a，即x=

a

3

，
∴在Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，
（3x）²+（2a-3x）²=4c²，
将x=

a

3

代入，得a²+（2a-a）²=4c²，∴

c2

a2

=

1

2

，
即e2=

1

2

，
∴e=

2

2

．
故选：D．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理的合理运用．