Question

已知奇函数f（x）=

x+b

x2+a

的定义域为R，f（1）=

1

2

．
（1）求实数a、b的值；
（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
（3）判断并证明f（x）的奇偶性．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）奇函数f（x）=

x+b

x2+a

的定义域为R，由f（0）=0，可求b，利用f（1）=

1

2

，可求a；
（2）求函数f（x）=

x+b

x2+a

的导数，证明其导数大于0即可；
（3）验证f（-x）=-f（x）即可．

解答： （1）解：∵奇函数f（x）=

x+b

x2+a

的定义域为R，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∵f（1）=

1

2

，
∴

1

1+a

=

1

2

，
∴a=1；
（2）证明：∵f（x）=

x

x2+1

，
∴求导数f′（x）=

x2+1-2x

(x2+1)2

≥0，
∴函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
（3）解：奇函数，证明如下：
∵f（x）=

x

x2+1

，
∴f（-x）=-

x

x2+1

=-f（x），
∴函数是奇函数．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查对定义的理解与掌握，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．