Question

1．已知点P是函数y=1-x²的图象上位于第一象限内的一动点，过点P作此函数图象的切线l，直线l与x，y轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，设点P的横坐标为t，△AOB的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）表达式及定义域；
（2）求f（t）取最小值时切线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令x=0，y=0，可得B，A的坐标，再由面积公式即可得到所求解析式和定义域；
（2）求出f（t）的导数，求得单调区间和极值和最值，可得切点的横坐标，代入点斜式方程可得切线的方程．

解答 解：（1）函数y=1-x²的导数为y'=-2x，
得切线的斜率为k_l=-2t，又P（t，1-t²），
即有直线l的方程为y-1+t²=-2t（x-t），
令x=0得B（0，t²+1），
令y=0得A（$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$，0），又0＜t＜1，
则S_△AOB=f（t）=$\frac{1}{2}$（（1+t²）（$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$）=$\frac{1}{4}$（t³+2t+$\frac{1}{t}$），定义域为（0，1）；
（2）f′（t）=$\frac{1}{4}$（3t²+2-$\frac{1}{{t}^{2}}$）=$\frac{3{t}^{4}+2{t}^{2}-1}{4{t}^{2}}$，
由f'（t）=0及0＜t＜1得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又0＜t＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$时f′（t）＜0，f（t）为减函数，
$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜t＜1时f′（t）＞0，f（t）为增函数，
当t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时f（t）取最小值，
此时切线l方程为$y-1+\frac{1}{3}=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}（x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
即y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4}{3}$..

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查三角形的面积的解析式，以及最值的求法，注意运用导数求解，考查运算能力，属于中档题．