Question

19．已知函数f（x）=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}）$•x，则方程f（x-1）=f（x²-3x+2）的所有实根构成的集合的非空子集个数为7．

Answer 1

分析 由题意可判断函数f（x）是R上的偶函数，且可判断在[0，+∞）上是增函数；从而可得x-1=x²-2x+1或x-1=-（x²-2x+1），从而解得，即可求出子集的个数．

解答 解：∵f（x）=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}）$•x
∴f（-x）=（-x）（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$）
=x（$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$-$\frac{1}{2}$）=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}）$•x=f（x），
∴函数f（x）是R上的偶函数，
∵f′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+$\frac{x•{2}^{x}•ln2}{（{2}^{x}+1）}$，
∴当x≥0时，f′（x）≥0；
故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
∵f（x-1）=f（x²-2x+1），
∴x-1=x²-2x+1或x-1=-（x²-2x+1），
∴x=1或x=2或x=0，
∴所有实根构成的集合的非空子集个数为2³-1=7
故答案为：7

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用，关键是判断函数的单调性，属于中档题．