Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在[3，4]上是增函数，A、B是锐角三角形的两个内角，则（　　）

• A、f（sinA）＜f（cosB）
• B、f（sinA）＞f（cosB）
• C、f（sinA）＞f（sinB）
• D、f（cosA）＞f（cosB）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断．

解答： 解：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+1）=-f（x）即f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，
因为f（x）在[3，4]上是增函数，所以f（x）在[-1，0]上为增函数，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[0，1]上为单调减函数．
因为在锐角三角形中，π-A-B＜

π

2

，所以A+B＞

π

2

，所以

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，
所以sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，
因为f（x）在[0，1]上为单调减函数．
所以f（sinA）＜f（cosB），
故选：A．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．