Question

已知函数f（x）=ax²+bx-1，其中a∈（0，4），b∈R．
（1）当a=1时，解不等式f（x）+f（-x）＜3x；
（2）设b＜0，当x∈[-

1

a

，0]时，f（x）的值域是[-

3

a

，0]，求a，b的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）将a=1代入化简，解不等式即可；
（2）观察a，b的大到致取值范围，由图象确定其单调性，进而确定f（0）=-1=-

3

a

，且f（-

1

a

）=

1

a

+

b

a

-1=0，从而求a，b的值．

解答： 解：（1）当a=1时，原不等式f（x）+f（-x）＜3x可化为：
2x²-3x-2＜0，
解得，-

1

2

＜x＜2；
（2）∵b＜0，∴函数f（x）=ax²+bx-1的对称轴x=-

b

2a

＞0，开口向上；
则f（x）=ax²+bx-1在[-

1

a

，0]上是减函数；
则f（0）=-1=-

3

a

，且f（-

1

a

）=

1

a

+

b

a

-1=0，
解得，a=3，b=2．

点评：本题考查了二次函数的图象及其性质及函数与方程之间的关系，属于中档题．