题目内容
20．已知f（x）=xlnx，其中x∈（0，e]（e是自然常数）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并求出其极小值；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，e]，使f（x0）≤a，求a的范围．
分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性得到函数的最小值，从而求出a的范围即可．
解答 解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，e]递增；
故f（x）极小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：x∈（0，e]时，f（x）min=-$\frac{1}{e}$，
故a≥-$\frac{1}{e}$．
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
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| A． | 4xf（x2）≤x4f（2x） | B． | e2xf（$\frac{1}{x}$）≥$\frac{1}{{x}^{2}}$f（ex） | ||
| C． | xf（$\sqrt{x}$）≤f（x） | D． | 4xf（x+1）≤（x2+2x+1）f（2$\sqrt{x}$） |
5．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx-3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$的值为（ ）
| A． | -4033 | B． | 4033 | C． | 8066 | D． | -8066 |
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| A． | 2 | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$ | D． | $2\sqrt{2}$ |
10．函数$f（x）={2^x}+xln\frac{1}{4}$在区间[-2，2]上的最大值为（ ）
| A． | $\frac{1}{4}+4ln2$ | B． | 4（1-ln2） | C． | 2（1-ln2） | D． | 4（2ln2-1） |