Question

9．已知P，A，B是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上不同的三点，且A，B关于原点对称，若直线PA，PB的斜率乘积${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{3}{4}$，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设出点A，B的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k_PA•k_PB=$\frac{3}{4}$，即可求得结论

解答 解：由题意，设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁）
∴k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，∴两式相减可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
∵k_PA•k_PB=$\frac{3}{4}$，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，∴，∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，离心率的求解，属基础题．