Question

10．函数$f（x）={2^x}+xln\frac{1}{4}$在区间[-2，2]上的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}+4ln2$
• B． 4（1-ln2）
• C． 2（1-ln2）
• D． 4（2ln2-1）

Answer 1

分析 利用导数求出极值，然后求区间端点处的函数值，进行大小比较即可．

解答 解：∵f（x）=2^x+xln$\frac{1}{4}$，
∴f′（x）=2^xln2-ln4=ln2（2^x-2），
令f′（x）=0，
解得x=1，
∴f（x）在[-2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∵f（2）=4-2ln4=4-4ln2，f（-2）=$\frac{1}{4}$+2ln4=$\frac{1}{4}$+4ln2，
∴f（-2）-f（2）=$\frac{1}{4}$+4ln2-4+4ln2=$\frac{1}{4}$+4ln4-4=$\frac{1}{4}$+4（ln4-1）＞0，
∴∴f（x）_max=f（-2）=$\frac{1}{4}$+4ln2，
故选：A

点评 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，属中档题．