题目内容
5．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx-3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$的值为（ ）| A． | -4033 | B． | 4033 | C． | 8066 | D． | -8066 |
分析 求出f（x）的对称中心，根据函数的对称性计算．
解答 解：f（1）=1-3=-2，
当x1+x2=2时，f（x1）+f（x2）=x1+x2+sinπx1+sinπx2-6=sinπx1+sin（2π-πx1）-4=sinπx1-sinπx1-4=-4，
∴f（x）的对称中心为（1，-2），
∵$\frac{1}{2017}$+$\frac{4033}{2017}$=$\frac{2}{2017}+\frac{4032}{2017}$=…=$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$=2，
∴$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$=2016×（-4）+（-2）=-8066．
故选D．
点评 本题考查了函数对称性的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
将全体正整数ai，j从左向右排成一个直角三角形数阵：
13．2017年实验中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4个，另两堆每堆2个，一共有多少种不同分堆方法（ ）
| A． | C${\;}_{8}^{4}$C${\;}_{4}^{2}$C${\;}_{2}^{2}$ | B． | C${\;}_{3}^{1}$C${\;}_{8}^{2}$ | ||
| C． | $\frac{{C}_{8}^{4}{C}_{4}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$ | D． | $\frac{{C}_{8}^{4}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{A}_{3}^{3}}$ |
函数y=f（x）在其定义域$[{-\frac{3}{2}，3}]$内可导，其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y=f'（x），则不等式f′（x）≤0的解集是[-$\frac{1}{3}$，1]∪[2，3）．
14．平行于直线x+2y+1=0，且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（ ）
| A． | $x+2y+\sqrt{5}=0$或$x+2y-\sqrt{5}=0$ | B． | $x-2y+\sqrt{5}=0$或$x-2y-\sqrt{5}=0$ | ||
| C． | x+2y+5=0或x+2y-5=0 | D． | x-2y+5=0或x-2y-5=0 |