Question

15．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），f（x）＞0恒成立，且有2f（x）＞xf′（x）+x，则当x＞0时，下列不等关系一定正确的是（　　）

• A． 4^xf（x²）≤x⁴f（2^x）
• B． e^2xf（$\frac{1}{x}$）≥$\frac{1}{{x}^{2}}$f（e^x）
• C． xf（$\sqrt{x}$）≤f（x）
• D． 4xf（x+1）≤（x²+2x+1）f（2$\sqrt{x}$）

Answer 1

分析 x＞0时，可得2xf（x）-x²f′（x）＞x²＞0，令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{f（x）}$，则f′（x）=$\frac{2xf（x）-{x}^{2}f′（x）}{{f}^{2}（x）}$＞0．即函数g（x）在（0，+∞）单调递增，可得g（x+1）≥g（2$\sqrt{x}$），即可得到结论．

解答 解：当x＞0时，有2f（x）＞xf′（x）+x恒成立，⇒有2xf（x）-x²f′（x）＞x²＞0，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{f（x）}$，则f′（x）=$\frac{2xf（x）-{x}^{2}f′（x）}{{f}^{2}（x）}$＞0．
∴函数g（x）在（0，+∞）单调递增，
∵x＞0，∴$x+1≥2\sqrt{x}$，即g（x+1）≥g（2$\sqrt{x}$）
⇒$\frac{（x+1）^{2}}{f（x+1）}≥\frac{（2\sqrt{x}）^{2}}{f（2\sqrt{x}）}$，∵f（x）＞0恒成立．∴f（x+1）＞0，f（2$\sqrt{x}$）＞0，
∴（x+1）²f（2$\sqrt{x}$）≥4xf（x+1）．
故选：D．

点评 本题考查了构造新函数，解函数不等式，属于中档题．