Question

∫

π 2 - π 2

（sin³x+cos²x）dx的值是

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：利用根据二倍角公式，积化和差公式，和降幂的思想把sin³x+cos²x转化为=

3

4

sinx+

1

2

cos2x-

1

4

sin3x+

1

2

，再根据微积分基本定理，计算可得．

解答： 解：因为sin³x+cos²x
=sinx（1-cos²x）+cos²x
=sinx-sinxcos²x+cos²x
=sinx-sinx×

1+cos2x

2

+

1+cos2x

2

=sinx-

1

2

sinx-

1

2

sinxcos2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

1

2

sinx+

1

2

cos2x-

1

4

（sin3x-sinx）+

1

2

=

1

2

sinx+

1

2

cos2x-

1

4

sin3x+

1

4

sinx+

1

2

=

3

4

sinx+

1

2

cos2x-

1

4

sin3x+

1

2

∴

∫

π 2 - π 2

（sin³x+cos²x）dx
=

∫

π 2 - π 2

（

3

4

sinx+

1

2

cos2x-

1

4

sin3x+

1

2

）dx
=（-

3

4

cosx+

1

4

sin2x+

1

12

cos3x+

1

2

x）

|

π 2 - π 2

=（0+0+0+

π

4

）-（0+0+0-

π

4

）
=

π

2

故答案为：

π

2

点评：本题考查了定积分的问题和三角函数的转化问题，本题的关键是利用转化思想，尤其是三角函数中的积化和差公式，属于难题，
大纲中三角恒等变换
（1）和与差的三角函数公式
　　①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
（2）简单的三角恒等变换
　　能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．