Question

17．已知等式：
cos²61°+sin²31°+cos61°sin31°=a
cos²66°+sin²36°+cos66°sin36°=a
cos²20°+sin²10°+cos20°sin（-10°）=a
cos²8°+sin²22°+cos8°sin（-22°）=a
（Ι）根据以上所给的等式归纳出一个具有一般性的等式，并指出实数a的值
（Ⅱ）证明你写的等式．

Answer 1

分析 （Ι）猜测cos²60°+sin²（60°-30°）+cos60°sin（60°-30°）=a，可归纳出一个具有一般性的等式，并指出实数a的值
（Ⅱ）利用公式展开证明等式即可．

解答 解：（Ι）已知等式可化为cos²61°+sin²（61°-30°）+cos61°sin（61°-30°）=a，
cos²20°+sin²（20°-30°）+cos20°sin（20°-30°）=a，
cos²20°+sin²（20°-30°）+cos20°sin（20°-30°）=ac，
os²8°+sin²（8°-30°）+cos8°sin（8°-30°）=a
由此猜测cos²60°+sin²（60°-30°）+cos60°sin（60°-30°）=a，
∴$a=\frac{3}{4}$-------------------------------------（4分）
即一般性的等式为${cos^2}{α°}+{sin^2}（{α°}-{30°}）+cos{α°}sin（{α°}-{30°}）=\frac{3}{4}$------（7分）
（Ⅱ）证明：cos²α°+sin²（α°-30°）+cosα°sin（α°-30°）=${cos^2}{α°}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin{α°}-\frac{1}{2}cos{α°}）^2}+cos{α°}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin{α°}-\frac{1}{2}cos{α°}）$----（9分）
=${cos^2}{α°}+\frac{3}{4}{sin^2}{α°}+\frac{1}{4}{cos^2}{α°}-\frac{1}{2}{cos^2}{α°}$
=$\frac{3}{4}{cos^2}{α°}+\frac{3}{4}{sin^2}{α°}$=$\frac{3}{4}$，
∴${cos^2}{α°}+{sin^2}（{α°}-{30°}）+cos{α°}sin（{α°}-{30°}）=\frac{3}{4}$--------（12分）

点评 本题考查三角恒等式的证明，考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．