Question

已知函数f（x）=log

2

（a-2^x）+x-2，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数零点与对应方程根之间的关系，将f（x）存在零点转化为方程log₂（a-2^x）=2-x有根，结合对数方程和指数方程的解法，将它转化为一个二次方程根的存在性，再根据二次方程根的个数与判别式的关系及韦达定理，构造一个关于a的不等式组，解不之即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：若f（x）存在零点，
则方程log₂（a-2^x）=2-x有根
即2^2-x=a-2^x有根，
令2^x=t（t＞0）
则原方程等价于

4

t

=a-t有正根
即t²-at+4=0有正根，
根据根与系数的关系t₁t₂=4＞0，
即若方程有正根，必有两正根，
故有

t1+t2=a＞0 a2-16≥0

∴a≥4．
故答案为：a≥4．

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中根据指数方程和对数方程的解法，将函数对应的方程转化为一个二次方程是解答的关键．体现了换元和转化的数学思想．