Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=2cos

A

2

sin（π-

A

2

）+sin²

A

2

-cos²

A

2

．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（A）=0，a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（A）=

2

sin（A-

π

4

），可得f（x）=

2

sin（x-

π

4

），再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调区间．
（2）由f（A）=0，求得A=

π

4

，再由a=2利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）△ABC中，∵f（A）=2cos

A

2

sin（π-

A

2

）+sin²

A

2

-cos²

A

2

=2sin

A

2

cos

A

2

-cosA=sinA-cosA=

2

sin（A-

π

4

），
∴f（x）=

2

sin（x-

π

4

）．
令 2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，可得函数的增区间为[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈z．
令 2kπ+

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

，可得函数的增区间为[2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

]，k∈z．
（2）∵f（A）=

2

sin（A-

π

4

）=0，0＜A＜π，∴A=

π

4

．
∵a=2，∴a²=4=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-

2

bc≥2bc-

2

bc∴bc≤4+2

2

，当且仅当b=c时取等号．
故△ABC的面积

1

2

bc•sinA的最大值为

1

2

（4+2

2

）•

2

2

=4+

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．