Question

某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．

（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由直方图能求出a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数．
（2）由已知得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，
解得a=0.0375，
因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，
所以甲班的学生人数为

8

0.2

=40，
所以甲、乙两班人数均为40人．
所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，
在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，
ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
P(ξ=0)=

C 0 3 C 4 4

C 4 7

=

1

35

，
P(ξ=1)=

C 1 3 C 3 4

C 4 7

=

12

35

，
P(ξ=2)=

C 2 3 C 2 4

C 4 7

=

18

35

，
P(ξ=3)=

C 3 3 C 1 4

C 4 7

=

4

35

．
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 35	12 35	18 35	4 35

Eξ=0×

1

35

+1×

12

35

+2×

18

35

+3×

4

35

=

12

7

．

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．