题目内容
已知函数f（x）=ax-alnx，试求函数f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
解答：
解：由于函数f（x）=ax-alnx，f′（x）=
（x＞0），…（2分）
①当a＞0时，易知，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0；
所以f（x）的递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；…（4分）
②当a＜0时，同理可知f（x）的递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
| a(x-1) |
| x |
①当a＞0时，易知，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0；
所以f（x）的递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；…（4分）
②当a＜0时，同理可知f（x）的递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查函数单调性的性质，构造函数求解证明不等式问题，属于中档题．
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