Question

甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的

1

4

倍，固定成本为a元．
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；
（2）利用基本不等式可得，然后分类讨论．

解答： 解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

1000

v

，
全程运输成本为y=

1000

v

(

1

4

v2+a)，即y=1000（

1

4

v+

a

v

），定义域为（0，80]，
（2）依题意知a，v都为正数，故有1000（

1

4

v+

a

v

）≥1000

a

，当且仅当

1

4

v=

a

v

，即v=2

a

时，等号成立，
①若2

a

≤80，即0＜a≤1600时，则当v=2

a

时，时，全程运输成本y最小．
②若2

a

＞80，即a＞1600时，则当v∈（0，80]时，有y′=1000（

1

4

-

a

v2

）＜0．
∴函数在v∈（0，80]上单调递减，也即当v=80时，全程运输成本y最小，
综上知，为使全程运输成本y最小，当0＜a≤1600时行驶速度应为v=2

a

时千米/时；当a＞1600时行驶速度应为v=80千米/时．

点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值．