Question

已知等差列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=

π

6

处取得最大值，且最大值为a₂，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差d，然后由a₁=1，S₃=9列式求解d，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）求出a₂的值，即A的值，再由在x=

π

6

处取得最大值结合φ的范围求φ，则函数f（x）的解析式可求．

解答： 解：（Ⅰ）设等差列{a_n}的公差为d，依题意得：

a1=1 S3=3a1+3d=9

，解得d=2．
∴等差数列的通项公式为a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a₂=3，
∴A=3．
∵f（x）在x=

π

6

处取得最大值，
∴2×

π

6

+φ=2kπ，k∈Z．
又∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+

π

6

）．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，是基础题．