Question

11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{7-{a^2}}}$=1（a＞0）的焦点在x轴上，且椭圆C的焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点R（4，0）的直线l与椭圆C交于两点P，Q，过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N，F为椭圆C的右焦点，求证：三点N，F，Q在同一条直线上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的焦点位置分析可得a²＞7-a²，进而由椭圆的几何性质可得a²-（7-a²）=1，解可得a的值，代入椭圆的方程即可得答案；
（Ⅱ）分析可得直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-4），联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系分析可得直线QN方程，令y=0，可得直线QN过点（1，0），由椭圆的几何性质分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{7-{a^2}}}=1（a＞0）$的焦点在x轴上，
∴a²＞7-a²，即${a^2}＞\frac{7}{2}$，
∵椭圆C的焦距为2，且a²-b²=c²，
∴a²-（7-a²）=1，解得a²=4，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：由题知直线l的斜率存在，
设l的方程为y=k（x-4），点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₁，-y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$得3x²+4k²（x-4）²=12，
即（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，△＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
由题可得直线QN方程为$y+{y_1}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
又∵y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
∴直线QN方程为$y+k（{x_1}-4）=\frac{{k（{x_2}-4）+k（{x_1}-4）}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
令y=0，整理得$x=\frac{{{x_1}{x_2}-4{x_2}-x_1^2+4{x_1}}}{{{x_1}+{x_2}-8}}+{x_1}$=$\frac{{2{x_1}{x_2}-4（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}-8}}$
=$\frac{{2×\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-4×\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}}}{{\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-8}}$=$\frac{{\frac{-24}{{3+4{k^2}}}}}{{\frac{{32{k^2}-24-32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}}}=1$，
即直线QN过点（1，0），
又∵椭圆C的右焦点坐标为F（1，0），
∴三点N，F，Q在同一条直线上．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，此类问题需要分析直线的斜率是否存在．