题目内容
如图，已知曲线C：y＝x2(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2 A1与矩形A3P3B3B1的面积之和．以此类推，记an为2n－1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn．
(Ｉ)求a2与an；
(Ⅱ)求Sn，并证明Sn＜
．
(Ｉ) 
，
；（Ⅱ）见解析.
解析试题分析：（Ⅰ）根据题意先写出
各点坐标，再分别求
，然后总结与曲线
交点坐标，从而再求
；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表达式，先把变形为差的形式，再求
表达式，利用等比数列前
项和公式求，然后把与
进行比较，即得证.
试题解析：(Ｉ) 由题意知P1(
，
)，故a1＝×＝
．
又P2(
，
)，P3(
，
)，
故a2＝×[＋－
]＝
×(12＋32－22)＝．
由题意，对任意的k＝1，2，3，，n，有
(
，
)，i＝0，1，2，，2k－1－1，
故an＝
×[
＋
－
＋
－
＋＋
－
]
＝
×[12＋32－22＋52－42＋…＋(2n－1)2－(2n－2)2]
＝×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n－1－1)＋1]}
＝×
＝．
所以a2＝，an＝，n∈N*． 10分
(Ⅱ)由(Ｉ)知an＝
，n∈N*，
故Sn＝
－
＝
－
＝
．
又对任意的n∈N*，有
＞0，
所以Sn＝?
＜． 14分
考点：1、递推公式；2、等比数列的前n项和公式.
练习册系列答案
相关题目
是等比数列；
中，
.
；
，求证：
为等比数列；
项积
．
，求数列的前n项和．
，
是其前
项的和，且满足
，对一切
都有
成立，设
．
；
是等比数列；
成立的最小正整数
为递增数列，且
，
.（Ⅰ）求
；
，不等式
的解集为
，求所有
的和.
前
项和
，数列
满足
（
），
时，数列
为等比数列；
，若数列
中只有
最小，求
的取值范围.
满足：①
；②对于任意正整数
都有
成立.
的值；
，求数列
的前
项和.
是首项为1，公差为
的等差数列，数列
是首项为1，公比为
的等比数列．
，
，求数列
的前
项和；
，使得
．试比较
与
的大小，并说明理由．