题目内容
已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+ax-lnx，g（x）=ex（其中e是自然对数的底数）．
（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求x0的值；
（2）令F(x)=
，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．
（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求x0的值；
（2）令F(x)=
| f(x) |
| g(x) |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）斜率k等于函数在切点的导数，x0是方程的解，且y=x2+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，可证求；
（2）F（x）=
=
，F′（x）=
，设h（x）=-x2+（2-a）x+a-
+lnx 由h'（x）在（0，1]上是减函数，可得h'（x）≥h'（1）=2-a，通过研究2-a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求参数的取值范围．
（2）F（x）=
| f(x) |
| g(x) |
| x2+ax-lnx |
| ex |
-x2+(2-a)x+a-
| ||
| ex |
| 1 |
| x |
解答：
解：（1）f′（x）=2x+a-
（x＞0）所以切线的斜率k=2x0+a-
=
，
整理得x02+lnx0-1=0 显然x0=1是这个方程的解，
又∵为y=x2+lnx-1在（0．+∞）上是增函数，
∴方程x2+lnx-1=0有唯一实数解，故x0=1，
（2）F（x）=
=
，F′（x）=
，
设h（x）=-x2+（2-a）x+a-
+lnx 则h′（x）=-2x+
+
+2-a易知h′（x）在（0，+∞）上是减函数，从而h′（x）≥h′（1）=2-a，
（1）当2-a≥0时，即a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（0.1）上是增函数
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F′（x）≤0区间（0，1]上是单调递减函数，所以a≤2满足题意，
（2）当2-a＜0时，即a＞2时，设函数h′（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）单调递减，
又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0，又∵h（e-a）＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点m，
当x∈（0，m）时，h（x）＜0，当x∈（m，1）时，h（x）＞0，从而F（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）上单调递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾，
∴a＞2不合题意，综合（1）（2）得a≤2．
| 1 |
| x |
| 1 |
| x0 |
| x02+ax0-lnx0 |
| x0 |
整理得x02+lnx0-1=0 显然x0=1是这个方程的解，
又∵为y=x2+lnx-1在（0．+∞）上是增函数，
∴方程x2+lnx-1=0有唯一实数解，故x0=1，
（2）F（x）=
| f(x) |
| g(x) |
| x2+ax-lnx |
| ex |
-x2+(2-a)x+a-
| ||
| ex |
设h（x）=-x2+（2-a）x+a-
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
（1）当2-a≥0时，即a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（0.1）上是增函数
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F′（x）≤0区间（0，1]上是单调递减函数，所以a≤2满足题意，
（2）当2-a＜0时，即a＞2时，设函数h′（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）单调递减，
又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0，又∵h（e-a）＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点m，
当x∈（0，m）时，h（x）＜0，当x∈（m，1）时，h（x）＞0，从而F（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）上单调递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾，
∴a＞2不合题意，综合（1）（2）得a≤2．
点评：考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算，试题具有一定的综合性．
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