Question

已知正项数列{a_n}满足：a₁=

3

2

，a_n+1=

3an

2an+3

．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n•a_n=3（1-

1

2n

），求数列{b_n}的前n和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）观察数列的递推公式，利用递推公式即可求出数列通项．
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，利用公式法和错位相减法 求出数列{b_n}的前n和．

解答： 解：（Ⅰ）∵an+1=

3an

2an+3

，即

1

an+1

=

1

an

+

2

3

，
∴

1

an

=

1

a1

+

2

3

(n-1)=

2

3

n，
∴an=

3

2n

．
（Ⅱ）∵bn•an=3(1-

1

2n

)，
∴b_n=2n(1-

1

2n

)=2n-

2n

2n

，
∴S_n=b₁+b₂+…b_n=（2+4+…+2n）-(1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

)
=n(n+1)-(1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

)，
令Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，则

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
两式相减得：

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1•(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

=2（1-

1

2n

）-

n

2n

，
∴Tn=4(1-

1

2n

)-

2n

2n

∴Sn=n2+n-4+

2+n

2n-1

．

点评：本题主要考察了求解数列的通项以及求和方法，属于中档题．