Question

在△ABC中，已知 A＞B，且tanA、tanB是方程6x²-5x+1=0的两个根．
（1）求tanA、tanB、tan（A+B）的值；
（2）若AB=

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由所给条件求得tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，再根据tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

，计算求得结果．
（2）先求得tanC=-tan（A+B）的值，可得sinC的值，由tanA=

1

2

，求得sinA的值，由正弦定理求得BC的值，由tanB=

1

3

，求得sinB的值，再根据S_△ABC=

1

2

•AB•BC•sinB，计算求得结果．

解答： 解：（1）由所给条件A＞B，且tanA、tanB是 方程6x²-5x+1=0 的两根，可得tanA+tanB=

5

6

，tanA•tanB=

1

6

，
解得tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1．
（2）∵A+B+C=π，∴C=π-（A+B），∴tanC=-tan（A+B）=-1．
∵C为三角形的内角，∴sinC=

2

2

．
∵tanA=

1

2

，A为三角形的内角，∴sinA=

5

5

，
由正弦定理得：

AB

sinC

=

BC

sinA

，即

5

2 2

=

BC

5 5

，解得BC=

2

，
由tanB=

1

3

，求得sinB=

10

10

，∴S_△ABC=

1

2

•AB•BC•sinB=

1

2

•

5

•

2

•

10

10

=

1

2

．

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式、诱导公式、正弦定理的应用，属于中档题．