题目内容
已知A、B是抛物线y=1-x2上在y轴两侧的点，求过点A、B的切线与x轴围成面积的最小值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：本题先利用函数的对称性，猜测两切点的对称，再利用导数求出曲线的切线方程，根据切线方程求三角形的面积，再研究其最小值．
解答：
解：由于抛物线y=1-x2关于y轴对称，
不妨设点A（x0，y0）在抛物线上y轴的右侧，研究过A点的切线与x轴、y轴围成的三角形面积的最小值．
本题过点A的切线即以点A为切点．
∵y=1-x2，∴y'=-2x．
∴y0=1-x02，k=-2x0．
∴切线方程为：y-1+x02=-2x0(x-x0)．
当x=0时，y=x02+1，
当y=0时，x=
，
则该直线与x轴、y轴围成的三角形面积为：
×(x02+1)×
，（x0＞0）
记f(t)=
，(t＞0)．
f ′(t)=
=
，
当0＜t＜
时，f'（t）＜0，f（x）单调递减；
当t＞
时，f'（t）＜0，f（x）单调递增．
当t=
时，f'（t）=0，f（x）取极小值，f(
)=
．
∴过抛物线y=1-x2上在y轴两侧的点A、B的切线与x轴围成面积的最小值为
．
不妨设点A（x0，y0）在抛物线上y轴的右侧，研究过A点的切线与x轴、y轴围成的三角形面积的最小值．
本题过点A的切线即以点A为切点．
∵y=1-x2，∴y'=-2x．
∴y0=1-x02，k=-2x0．
∴切线方程为：y-1+x02=-2x0(x-x0)．
当x=0时，y=x02+1，
当y=0时，x=
| x02+1 |
| 2x0 |
则该直线与x轴、y轴围成的三角形面积为：
| 1 |
| 2 |
| x02+1 |
| 2x0 |
记f(t)=
| (t2+1)2 |
| 4t |
f ′(t)=
| 3t4+2t2-1 |
| 4t2 |
3(t2+1)(t+
| ||||||||
| 4t2 |
当0＜t＜
| ||
| 3 |
当t＞
| ||
| 3 |
当t=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
4
| ||
| 9 |
∴过抛物线y=1-x2上在y轴两侧的点A、B的切线与x轴围成面积的最小值为
8
| ||
| 9 |
点评：本题考查的是导数知识，用导数求切线方程，利用切线方程得到函数，再利用导数研究函数的最值．本题有一定的思维量和运算量，属于中档题．
练习册系列答案
探究与巩固河南科学技术出版社系列答案
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