Question

深圳科学高中致力于培养以科学、技术、工程和数学见长的创新型高中学生，“工程技术”专用教室是学校师生共建的创造者的平台，该教室内某设备D价值24万元，D的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第5年，每年初D的价值比上年初减少2万元；从第6年开始，每年初D的价值为上年初的25%，
（1）求第5年初D的价值a₅；
（2）求第n年初D的价值a_n的表达式；
（3）若设备D的价值a_n大于2万元，则D可继续使用，否则须在第n年初对D更新，问：须在哪一年初对D更新？

Answer 1

考点：数列的应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（1）当n≤5时，D的价值组成一个以24为首项、-2为公差的等差数列，可求第5年初D的价值a₅；
（2）通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初D的价值a_n的表达式；
（3）利用分段函数，建立不等式，即可求得结论．

解答： 解：（1）由题可知，当n≤5时，D的价值组成一个以24为首项、-2为公差的等差数列，
所以a₅=24-4×2=16（万元）-----------------（4分）
（2）当n≤5时，a_n=24-2（n-1）=-2n+26---------（6分）
由题可知，当n≥5时，D的价值组成一个以16为首项、

1

4

为公比的等比数列，
所以当n≤5时，an=a5•(

1

4

)n-5=16×(

1

4

)n-5=47-n---------（8分）
所以an=

-2n+26，(1≤n≤5，n∈N*) 47-n．(n≥6，n∈N*)

-----------（9分）
（3）当n≤5时，a_n＞2恒成立；
当n≤5时，由 4^7-n≤2得n＞

13

2

=6

1

2

----------（13分）
答：须在第7年初对D更新．-----------（14分）

点评：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数，属于中档题．