Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x-1）=f（3-x），且方程f（x）=2x有两等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先根据二次函数f（x）=ax²+bx得对称轴为x=-

b

2a

，再根据f（x-1）=f（3-x）可得对称轴为x=1，∴2a+b=0．根据f（x）=2x有两等根，可得∴△=（b-2）²=0，解得b=2
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值需要对定义域进行讨论：分t＜1和t＞1两种情形．

解答： 解：（1）∵方程f（x）=2x有两等根，ax²+（b-2）x=0有两等根，
∴△=（b-2）²=0，解得b=2，
∵f（x-1）=f（3-x），∴

x-1+3-x

2

=1，∴x=1是函数的对称轴，
又此函数图象的对称轴是直线x=-

b

2a

，∴-

b

2a

=1，∴a=-1，
故f（x）=-x²+2x；
（2）∵函数f（x）=-x²+2x对称轴为x=1，x∈[0，t]，
∴当t≤1时，f（x）在[0，t]上是增函数，∴f（x）_max=-t²+2t，
当t＞1时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f（a）_max=f（1）=1，
综上，f(x)max=

1 t＞1 -t2+2t t≤1

．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，以及分类讨论二次函数在闭区间上的最大值，属于基础题．