Question

（1）已知两正数x，y满足x+2y=1，求xy的最大值
（2）当x∈（1，+∞），不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用基本不等式的性质即可得出；
（2）当x∈（1，+∞），不等式x+

1

x-1

≥a恒成立?a≤(x+

1

x-1

)min，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵两正数x，y满足x+2y=1，
∴1≥2

2xy

，化为xy≤

1

8

，当且仅当x=2y=

1

2

时取等号，
∴xy的最大值是

1

8

．
（2）∵x∈（1，+∞），不等式x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≥2

(x-1)• 1 x-1

+1=3，当且仅当x=2时取等号．
∵当x∈（1，+∞），不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，
∴a≤(x+

1

x-1

)min，
∴a≤3．
∴a的取值范围是（-∞，3]．

点评：本题考查了基本 不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．