Question

已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0，O为坐标原点
（Ⅰ）当m为何值时，曲线C表示圆；
（Ⅱ）若曲线C与直线 x+2y-3=0交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）根据曲线方程满足圆的条件求出m的范围即可；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意OM⊥ON，得到

OM

•

ON

=0，利用平面向量数量积运算法则列出关系式，联立直线与圆方程组成方程组，消去x得到关于y的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于0，求出m的范围，利用韦达定理求出y₁+y₂与y₁y₂，由点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在直线x+2y-3=0上，表示出x₁与x₂，代入得出的关系式中，整理即可确定m的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知：D²+E²-4F=（-2）²+（-4）²-4m=20-4m＞0，
解得：m＜5；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由题意OM⊥ON，得到

OM

•

ON

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0①，
联立直线方程和圆的方程：

x2+y2-2x-4y+m=0 x+2y-3=0

，
消去x得到关于y的一元二次方程：5y²-12y+3+m=0，
∵直线与圆有两个交点，
∴△=b²-4ac=12²-4×5×m＞0，即m+3＜

36

5

，即m＜

21

5

，
又由（Ⅰ）m＜5，∴m＜

21

5

，
由韦达定理：y₁+y₂=

12

5

，y₁y₂=

3+m

5

②，
又点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在直线x+2y-3=0上，
∴x₁=3-2y₁，x₂=3-2y₂，
代入①式得：（3-2y₁）（3-2y₂）+y₁y₂=0，即5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0，
将②式代入上式得到：3+m-

36

5

+9=0，
解得：m=

12

5

＜

21

5

，
则m=

12

5

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，直线与圆的交点，韦达定理，平面向量的数量积运算，以及二元二次方程成为圆的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．