Question

已知函数f（x）=ax²+（a-1）x-1，有且仅有一个零点的充要条件是

 

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Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：首先讨论a的取值：a=0，和a≠0的情况，a=0时，f（x）是一次函数，容易判断此时f（x）只一个零点；a≠0时，f（x）是二次函数，要使f（x）只一个零点，即一元二次方程ax²+（a-1）x-1=0只一个解，所以△=（a-1）²+4a=0，解该方程即得a的值，所以合并a=0即得到f（x）有且仅有一个零点的充要条件．

解答： 解：a=0时，f（x）=-x-1，令-x-1=0，x=-1，即f（x）只有一个零点，符合条件；
a≠0时，f（x）=ax²+（a-1）x-1，令ax²+（a-1）x-1=0，则该方程只有一个解；
∴△=（a-1）²+4a=0，解得a=-1；
∴f（x）有一个零点时a=0，或-1；
即函数f（x）有且只有一个零点的充要条件是a=0，或a=-1．
故答案为：a=0，或a=-1．

点评：考查函数零点的概念，充要条件的概念，以及一元二次方程解的情况和判别式△的关系．