Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和且n∈N₊，所有项a_n＞0，且S_n=

1

4

a

2 n

+

1

2

a_n-

3

4

．
（1）证明：{a_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用S_n=

1

4

a

2 n

+

1

2

a_n-

3

4

写出S_n+1，结合数列的前n项和与a_n的关系，两式相减解答．
（2）利用（1）的结论求之．

解答： 解：（1）因为S_n=

1

4

a

2 n

+

1

2

a_n-

3

4

．
所以4S_n=a_n²+2a_n-3，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，
两式相减整理可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，
∴a_n+1-a_n=2，
{a_n}成等差数列；
（2）由（1）可知数列{a_n}是等差数列，并且4S₁=a₁²+2a₁-3，
所以a₁=3或-1（舍去），公差为2，
所以a_n=2n+1．

点评：本题考查了等差数列的定义的运用以及通项公式的求法；一般的，求证一个数列为等差数列，采用定义证明的较多．