Question

已知函数f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，当函数f（x）的值域为[0，2]时，则实数m的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先去绝对值将函数f（x）变成：f（x）=

x3-3x x≥ 3 3x-x3 0≤x＜ 3

，通过求导判断函数x³-3x在[

3

，+∞)单调递增，并且令x³-3x=2得，x=2，因为f（x）的值域是[0，2]，所以x≤2；同样的办法可判断函数3x-x³在[0，1]单调递增，在（1，

3

）单调递减，所以x=1时该函数取最大值2，x=0时取最小值0，所以函数f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，并且x∈[0，2]时f（x）的值域也是[0，2]，所以m∈[1，2]．

解答： 解：f（x）=x|x²-3|=

x3-3x x≥ 3 3x-x3 0≤x＜ 3

；
（1）（x³-3x）′=3x²-3，∴x³-3x在[

3

，+∞)上单调递增，令x³-3x=2得，x=2，∴x∈[

3

，2]；
（2）（3x-x³）′=3-3x²，∴3x-x³在[0，1）单调递增，在[1，

3

）上单调递减，∴x=1时3x-x³取最大值2，x=0时，取最小值0，即此时f（x）∈[0，2]，∴x∈[0，

3

)，且x∈[0，1]时f（x）的值域为[0，2]；
∴x∈[0，1]f（x）值域是[0，2]，x∈[0，2]时f（x）的值域也是[0，2]；
∴m∈[1，2]；
即实数m的取值范围为[1，2]．
故答案为：[1，2]．

点评：考查处理含绝对值函数的方法，通过求导判断函数单调性的方法，以及函数单调性定义的应用，函数的值域的概念及函数最值的求法．