题目内容
已知椭圆C的焦点在x轴上，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点．若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；
（Ⅲ）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-3，0），交y轴于点M．若
=2
，求直线l的斜率．
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；
（Ⅲ）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-3，0），交y轴于点M．若
| MQ |
| QP |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）依题意，根据cos∠OFA=
，求出c，进而可求b，则椭圆的方程可得；
（Ⅱ）用两点间的距离公式，结合配方法，即可求出点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；
（Ⅲ）设出直线l的方程，则M的坐标可得，设出Q的坐标，根据
=2
，求得x1和y1代入椭圆方程求得k．
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）用两点间的距离公式，结合配方法，即可求出点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；
（Ⅲ）设出直线l的方程，则M的坐标可得，设出Q的坐标，根据
| MQ |
| QP |
解答：
解：（Ⅰ）由题意知，点A是椭圆C短轴的端点．
设椭圆C的方程为
+
=1(a＞b＞0)，半焦距为c（c＞0）
在Rt△OFA中，cos∠OFA=
，
∵a=3，∴c=2，
∴b2=5
∴椭圆C的方程为
+
=1…（4分）
（Ⅱ）设N（x0，y0），
∵N在椭圆上，∴
+
=1，
∴x02=9-
y02，
∴|RN|2=x02+(y0-1)2=-
y02-2y0+10…（8分）
∵y0∈[-
，
]
∴当y0=-
时，|RN|max=
．…（9分）
（Ⅲ）根据题意设直线l的方程为y=k（x+3），点M（0，3k）
设Q(x1，y1)，由于
=2
∴（x1，y1-3k）=2（-3-x1，-y1）
解得：x1=-2，y1=k…（12分）
又Q在椭圆上，得
+
=1，解得：k=±
…（14分）
设椭圆C的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
在Rt△OFA中，cos∠OFA=
| 2 |
| 3 |
∵a=3，∴c=2，
∴b2=5
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
（Ⅱ）设N（x0，y0），
∵N在椭圆上，∴
| x02 |
| 9 |
| y02 |
| 5 |
∴x02=9-
| 9 |
| 5 |
∴|RN|2=x02+(y0-1)2=-
| 4 |
| 5 |
∵y0∈[-
| 5 |
| 5 |
∴当y0=-
| 5 |
| 4 |
3
| ||
| 2 |
（Ⅲ）根据题意设直线l的方程为y=k（x+3），点M（0，3k）
设Q(x1，y1)，由于
| MQ |
| QP |
∴（x1，y1-3k）=2（-3-x1，-y1）
解得：x1=-2，y1=k…（12分）
又Q在椭圆上，得
| (-2)2 |
| 9 |
| k2 |
| 5 |
| 5 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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设椭圆Γ：
+
=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，若椭圆Γ上存在点P，使△PF1F2是以F1P为底边的等腰三角形，则椭圆Γ的离心率的取值范围是（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A、（0，
| ||
B、（0，
| ||
C、（
| ||
D、（
|
如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，
已知椭圆C：