Question

（1）已知△ABC的顶点A（0，-1），B（0，1），直线AC，直线BC的斜率之积等于m（m₀），求顶点C的轨迹方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线．
（2）已知圆M的方程为：（x+1）²+y²=（2a）²（a＞0，且a1），定点N（1，0），动点P在圆M上运动，线段PN的垂直平分线与直线MP相交于点Q，求点Q轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程，然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）连接QN，则|QN|=|QP|，分类讨论，当a＞1时，则点N在圆内，有|QN|+|QM|=|QP|+|QM|=|MP|=2a＞|MN|；当0＜a＜1时，则点N在圆外，有|QN|-|QM|=|QP|-|QM|=|MP|=2a＜|MN|，即可得出结论．

解答： 解：（1）设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），
得：

y-1

x

•

y+1

x

=m，化简得：-mx²+y²=1（x≠0）．
当m＜-1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；
当m=-1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；
当-1＜m＜0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；
当m＞0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去（0，1），（0，-1）两点．
（2）连结QN，则|QN|=|QP|，
当a＞1时，则点N在圆内，有|QN|+|QM|=|QP|+|QM|=|MP|=2a＞|MN|，
∴点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，方程为：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1．
当0＜a＜1时，则点N在圆外，有|QN|-|QM|=|QP|-|QM|=|MP|=2a＜|MN|，
∴点Q的轨迹是以M，N为焦点的双曲线，方程为：

x2

a2

-

y2

1-a2

=1

点评：本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．