Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-bx，设h（x）=f（x）-g（x）
（1）若g（2）=2，讨论函数h（x）的单调性；
（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x₁，x₂．
①求b的取值范围；
②求证：x₁x₂＞e²．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据g（2）=2，求出h（x）的表达式，求函数的导数，即可讨论函数h（x）的单调性；
（2）根据函数g（x）是关于x的一次函数，确定a=0，根据函数h（x）有两个不同的零点x₁，x₂．即可得到结论．

解答： 解：（1）∵g（2）=2，∴a-b=1，即b=a-1，
∴h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x，其定义域为（0，+∞）
h′（x）=

1

x

-ax+（a-1）=

-ax2+(a-1)x+1

x

=

-(ax+1)(x-1)

x

，
（Ⅰ）若a≥0，则函数h（x）在区间（0，1）上单调增；在区间（1，+∞）上单调减．
（Ⅱ）若a＜0，令h′（x）=0得x1=-

1

a

，x2=1
①当a＜-1时，则0＜-

1

a

＜1，则函数h（x）在区间（0，-

1

a

）上单调增；在区间（1，+∞）上单调增；在区间（-

1

a

，1）上单调减．
②当a=-1时，h′（x）＜0，则函数h（x）在区间（0，+∞）单调减．
③当-1＜a＜0时，则-

1

a

＞1，则函数h （x）在区间（0，1）上单调增；在区间（-

1

a

，+∞）上单调增；在区间（1，-

1

a

）上单调减．

（2）∵函数g（x）是关于x的一次函数
∴h（x）=lnx+bx，其定义域为（0，+∞）
①由h（x）=0得b=-

lnx

x

，记φ(x)=-

lnx

x

，则φ′(x)=

lnx-1

x2

∴φ(x)=-

lnx

x

在（0，e）单调减，在（e，+∞）单调增，
∴当x=e时φ(x)=-

lnx

x

取得最小值-

1

e

又φ（1）=0，所以x∈（0，1）时φ（x）＞0，而x∈（1，+∞）时φ（x）＜0
∴b的取值范围是（-

1

e

，0）
②由题意得lnx₁+bx₁=0，lnx₂+bx₂=0
∴lnx₁x₂+b（x₁+x₂）=0，lnx₂-lnx₁+b（x₂-x₁）=0
∴

lnx1x2

lnx2-lnx1

=

x1+x2

x2-x1

，不妨设x₁＜x₂
要证x1x2＞e2，只需要证lnx1x2=

x1+x2

x2-x1

(lnx2-lnx1)＞2
即证lnx2-lnx1＞

2(x2-x1)

x2+x1

，设t=

x2

x1

(t＞1)
则F(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

=lnt+

4

t+1

-2
∴F′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴函数F（t）在（1，+∞）上单调增，而F（1）=0，
∴F（t）＞0即lnt＞

2(t-1)

t+1

∴x1x2＞e2．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式的证明，综合性较强，运算量较大．