题目内容
已知虚数z使得z1=
和z2=
都为实数，求z．
| z |
| 1+z2 |
| z2 |
| 1+z |
考点：复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念
专题：数系的扩充和复数
分析：利用已知条件，化简通过复数是实数，求出两个复数，z1=-1，z2=-1，然后通过方程求解即可．
解答：
解：z1=
化为：z1+z1z2=z…①，z2=
化为：z2+z2z=z2…②，
②代入①可得：z1+z1（z2+z2z）=z，即z1+z1•z2+（z2z1-1）•z=0，
∵z1=
和z2=
都为实数．
∴z1z2=1，z1=-1，z2=-1，
∴z2+z+1=0，∴z=
+
i，或者z=
-
i．
| z |
| 1+z2 |
| z2 |
| 1+z |
②代入①可得：z1+z1（z2+z2z）=z，即z1+z1•z2+（z2z1-1）•z=0，
∵z1=
| z |
| 1+z2 |
| z2 |
| 1+z |
∴z1z2=1，z1=-1，z2=-1，
∴z2+z+1=0，∴z=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查复数的基本概念，复数方程的运算，这种题目可以出现在高考卷中，只要解题认真就能够得分的题目．
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