题目内容
在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a=2，∠B-∠C=
，△ABC面积为
．
（1）求证：sinA=cos2C；
（2）求边b的长．
| π |
| 2 |
| 3 |
（1）求证：sinA=cos2C；
（2）求边b的长．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（1）由已知等式表示出B，再利用内角和定理表示出B，消去B得到A与C的关系式，利用诱导公式化简即可得证；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积及a的值代入得到关系式，再利用正弦定理表示出b，已知等式变形并利用诱导公式化简得到sinB=cosC，将得到的关系式代入bsinC=
中，化简求出tan2C的值，确定出C的度数，即可求出b的值．
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积及a的值代入得到关系式，再利用正弦定理表示出b，已知等式变形并利用诱导公式化简得到sinB=cosC，将得到的关系式代入bsinC=
| 3 |
解答：
解：（1）∵B-C=
，
∴B=C+
，
∵B=π-A-C，
∴A=
-2C，
则sinA=sin（
-2C）=cos2C；
（2）∵S=
absinC=
，a=2，
∴bsinC=
，
由正弦定理
=
，得到b=
，
∵B=C+
，∴sinB=cosC，
∴b=
，
将sinA=cos2C，b=
代入bsinC=
得：
=
，
整理得：
=tan2C=
，
∴2C=
，即C=
，
则b=
=2
．
| π |
| 2 |
∴B=C+
| π |
| 2 |
∵B=π-A-C，
∴A=
| π |
| 2 |
则sinA=sin（
| π |
| 2 |
（2）∵S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴bsinC=
| 3 |
由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| asinB |
| sinA |
∵B=C+
| π |
| 2 |
∴b=
| 2cosC |
| sinA |
将sinA=cos2C，b=
| 2cosC |
| sinA |
| 3 |
| 2sinCcosC |
| cos2C |
| 3 |
整理得：
| sin2C |
| cos2C |
| 3 |
∴2C=
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
则b=
| ||
| sinC |
| 3 |
点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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